نکته‌ای که بایستی مورد توجه قرار گیرد تعیین تعداد وقفه لازم برای رفع خود همبستگی موجود است. در بسته نرم افزاری Eviews وTsp بایستی آنقدر مقادیر وقفه را تغییر دهیم تا مطمئن شویم که خود همبستگی از بین رفته است. اما در بسته نرم افزاریMicrofit تعداد وقفه‌ها بر اساس ضابطه‌های آکائیک (AIC) ، شوارز– بیزین (SBC) و حنان –کوئین (HQC) تعیین می‌شود که این ضوابط به ترتیب به شرح زیراند:

در این روابط ‌ حداکثر مقدار تابع Log–Likelihood الگوی اقتصاد سنجی است، ‌برآورد کننده حداکثر راستنمایی ضرایب ،P تعداد پارامترهایی است که آزادانه بر آورد شده‌اند وn حجم نمونه است. مقدار حداکثر هر یک از ضوابط فوق تعیین کننده تعداد وقفه‌های بهینه است(نوفرستی، ۱۳۷۸).

۳- ۵- مدل ARCH ^[۲۶]

انگل (۱۹۷۲) نشان داد که به جای انتخاب دنباله­های متعدّد و یا تبدیل داده ­ها ‌می‌توان میانگین و واریانس یک سری از داده ­ها را به طور هم­زمان مدل­سازی نمود. البته لازم به ذکر است که در مدل­سازی، استفاده از پیش‌بینی­های شرطی از ارجحیت بسیار بالاتری نسبت به پیش ­بینی­های غیر شرطی برخوردار است.

اگر واریانس ثابت نباشد، ‌می‌توان با بهره گرفتن از مدل ARMA هر گونه روند پایدار در تغییرات را برآورد نمود. مثلا اگر برآوردی از جملات پسماند مدل باشد، در این صورت واریانس شرطی عبارت خواهد بود از :

(۳-۷) حال فرض می­کنیم مقدار واریانس شرطی ثابت نباشد، در این­جا ‌می‌توان مربع پسماندهای حاصل از مدل فوق را به صورت یک فرایند AR(q) به صورت زیر مدل­سازی نموده و این مدل را برآورد نماییم :

(۳-۸) به­ طوری­که یک فرایند نوفه­ی سفید است.

اگر تمام مقادیر برابر با صفر باشد، در این صورت برآورد واریانس برابر با مقدار ثابت خواهد بود. در غیر این صورت واریانس شرطی مطابق با فرایند خود همبسته ارائه شده در معادله فوق تغییر خواهد کرد. الگوهای شبیه معادله فوق را مدل­های اتورگرسیو واریانس ناهمسان شرطی گویند.

در واقعیت الگوهای خطی معادله قبلی چندان مرسوم نیست، بلکه عمدتاً به صورت یک جمله اخلال حاصل ضربی در نظر گرفته می­ شود. با بهره گرفتن از روش تخمین حداکثر درست‌نمایی می توان معادله و معادله واریانس شرطی را به طور همزمان برآورد نمود.

ساده­ترین شکل مدل­های واریانس ناهمسانی شرطی حاصل ضربی که انگل (۱۹۸۲) آن را ارائه ‌کرده‌است، عبارت است از:

(۳-۹)

که در آن عبارت است از فرایند نوفه سفید با فرض مستقل از یکدیگر بوده و و مقادیر ثابت هستند با فرض آنکه _۰ >1α و _۱ <1α۰ < باشد.

اگر الگوی تغییرات شبیه معادله بالا باشد، میانگین و واریانس غیرشرطی ثابت خواهد بود. میانگین و واریانس شرطی نیز به صورت زیر خواهد بود:

(۳-۱۰)

(۳-۱۱)

در این معادله واریانس شرطی وابسته به مقادیر تحقق یافته ‌می‌باشد و اگر مقدار تحقق یافته بزرگ باشد، واریانس شرطی در زمان t نیز بزرگ خواهد بود. معادله یک الگوی اتورگرسیو درجه اول است که آن را با ARCH(1) نشان می­دهیم. در این مدل ضرایب مقید هستند، زیرا برای اطمینان از منفی نبودن واریانس شرطی،‌ لازم است تا ضرایب مثبت باشند. اگر منفی باشد، به ازای مقادیر نسبتا کوچک واریانس منفی خواهد بود. همچنین اگر منفی باشد، به ازای مقادیر نسبتا بزرگ واریانس شرطی منفی خواهد شد. برای ثبات مدل نیز لازم است تا قید _۱ <1α۰< را اعمال کنیم. در یک مدل ARCH، ساختار جز خطا به نحوی است که میانگین مشروط و غیر مشروط آن برابر صفر است. همچنین دنباله{ } فاقد خود همبستگی است. زیرا برای تمامی مقادیر ‌می‌باشد. اما گشتاورهای مرتبه دوم جملات خطا با هم ارتباط دارند. واریانس شرطی یک فرایند اتورگرسیو است که موجب می­ شود جز خطا دارای الگوی واریانس ناهمسانی شرطی باشد. واریانس ناهمسانی شرطی در{ } موجب می­ شود که دنباله نیز دارای الگوی واریانس ناهمسانی باشد. بدین ترتیب یک مدل ARCH می ­تواند دوره ­های سکون و نوسان را در سری توضیح دهد(اندرس، ۱۳۸۶).

۳-۶- مدل GARCH ^[۲۷]

بولرسلو^[۲۸] (۱۹۸۶) الگوی اولیه ارائه شده توسط انگل را بسط داد و روشی را ابداع کرد که ‌بر اساس آن واریانس شرطی می‌تواند یک فرایند ARMA باشد. در این روش فرض بر این است که فرایند خطا، دارای الگوی زیر باشد:

(۳-۱۲)

به طوری که باشد و را به صورت زیر تعریف کنیم :

فرایند یک فرایند نوفه سفید است. واریانس شرطی برابر است با :

(۳-۱۳)

یعنی واریانس شرطی یک فرایند ARMA است که از الگوی تبعیت می‌کند.

یکی از مزایای آشکار مدل GARCH این است که در برخی موارد ‌می‌توان به جای تخمین یک معادله ARCH مرتبه بالا، یک مدل GARCH را جایگزین کنیم که در آن اصل صرفه­جویی، بیشتر رعایت شده و تشخیص و تخمین آن ساده­تر است. در معادله لازم است که تمام ضرایب مثبت بوده و واریانس مقداری متناهی باشد. واضح است که هر چه در مدل اصل صرفه­جویی بیشتر رعایت شده باشد، تعداد محدودیت­های ضرایب نیز کمتر خواهد بود.

۳-۷- الگوی خودرگرسیونی با وقفه توزیعیARDL^[29]

طبق نظریه هم‌جمعی در اقتصادسنجی مدرن، ضروری است که از روش‌‌هایی در برآورد توابع هنگام استفاده از سری‌‌های زمانی، استفاده شود که به مسأله ساکن پذیری و هم‌جمعی توجه داشته باشند. اخیراً پسران و شین(۱۹۹۶) و پسران و همکاران(۲۰۰۱) نسخه­ای جدید و جایگزین از تکنیک­های هم‌جمعی معرفی نموده ­اند که به آزمون”خود همبستگی با وقفه توزیع شده”(ARDL) معروف است. علت به وجود آمدن این روش جدید، این است که روش‌هایی همچون هم‌جمعی انگل-گرنجر و جوهانسن دارای محدودیت‌های زیادی می­باشند که باعث می‌شود الگوی ARDL نسبت ‌به این روش‌ها دارای مزایایی باشد که در زیر به آن ها می‌پردازیم:

الگوی ARDL در تحلیل‌های هم‌جمعی سری‌های زمانی نسبت به الگوهای معمول ارائه شده توسط انگل و گرنجر^[۳۰] (۱۹۸۷) دارای مزایائی است. به عنوان مثال در الگوی ARDL به یکسان بودن درجه هم‌جمعی متغیرهای مورد استفاده در الگو که در روش انگل-گرنجر ضروری بود، نیازی نیست. این روش برخلاف روش انگل-گرنجر توانایی تشخیص متغیرهای وابسته را دارد. مدل ARDL اجزاء بلندمدت و کوتاه‌مدت در مدل را به طور همزمان با تعیین تعداد وقفه‌های بهینه‌ برای متغیرها، تخمین می‌زند و مشکلات مربوط به حذف متغیرها و خودهمبستگی را رفع می‌کند. ‌بنابرین‏ تخمینهای حاصل از روش ARDL و تحلیل هم‌جمعی به دلیل اجتناب از مشکلات ناشی از خودهمبستگی و درونزایی، نااریب و کارا هستند(کرمی و زیبایی،۱۳۸۷).

علاوه بر این به اعتقاد پهلوانی و همکاران^[۳۱](۲۰۰۵) الگوی ARDL نسبت به روش هم‌جمعی جوهانسن^[۳۲] که در اغلب مطالعات مورد استفاده قرار می‌گیرد، دارای مزیت‌هائی است که ازجمله آن‌ ها می‌توان به موارد ذیل اشاره نمود :

برای نمونه های کوچک کارائی و کاربرد دارد.

لازم نیست همه متغیرهای توضیحی همگرا از یک درجه باشند.